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サイエンス、テクノロジー、エンジニア関連のノート(忘備録)です。

微分方程式

微分方程式 [differential equation]

微分方程式のツイートに関してのマイノートです。今後も随時追加予定です。

twitter_ 2_

項目 [Contents]

  1. 概要 [Overview]
  2. 常微分方程式 [O.D.E : ordinary differential equation]
    1. 1階微分方程式 [First-order differential equation]
      1. 変数分離型 [separation of variables]
      2. 同次形 [Homogeneous Equations]
    2. 1階線型微分方程式 [First-order linear differential equation]
    3. 完全微分方程式 [exact differential equation]
    4. 完全形における解の存在と一意性<ピカールの逐次近似法 [method of successive approximations] >
      1. ピカールの近似列
        1. (a) ピカールの近似列の算出
        2. (b) ピカールの近似列の収束性
        3. (c) y(t) が対象の初期値問題 (1.6) 式を満たすことの証明
        4. 解の存在と一意性
      2. 逐次近似法を使用した方程式の解の導出
    5. ニュートン・ラプソン法(数値解析) [Newton-Raphson method]
    6. 2階定係数斉次線形微分方程式 [homogeneous linear differential equation]
      1. (i) b2 -4ac > 0 のとき
      2. (i) b2 -4ac < 0 のとき
      3. (i) b2 -4ac = 0 のとき
    7. 2階変係数斉次線形微分方程式 [Inhomogeneous linear differential equation]
      1. 定数変化法 [variation of constants]
      2. 代入法
        1. ① 右辺が多項式の形をしている場合
        2. ② 右辺が(多項式×指数関数)の形をしている場合
        3. ③ 右辺が(多項式×三角関数)になっている場合
    8. 級数解 [Series solution]
      1. べき級数 [series] とその性質
        1. 収束半径と収束、発散、及びCauchyの判定法による収束半径の決定
        2. Tayler 展開
      2. 特異点 [singularity] 、オイラーの方程式
        1. (特異点が t0=0 の場合で) t > 0 のとき
        2. (特異点が t0=0 の場合で) t < 0 のとき
        3. オイラーの方程式の一般解
      3. 確定特異点 [fixed singular point]、フロベニウスの方法 [Frobenius method]
        1. 確定特異点 [fixed singular point]
        2. フロベニウスの方法 [Frobenius method]
          1. 1つの例の場合
          2. 一般的な場合
            1. 決定方程式
            2. 決定方程式における r1, r2 の差が整数になる場合の、1次独立な2つの解と一般解
            3. 決定方程式が重解になる場合の、1次独立な2つ目の解
  3. 関数解析 [functional analysis] と常微分方程式
    1. ラプラス変換 [Laplace transform]
      1. ラプラス変換を使用した微分方程式の解法
    2. フーリエ解析 [Fourier analysis]
      1. フーリエ級数 [Fourier series]、フーリエ級数展開
      2. 複素フーリエ級数
      3. フーリエ変換 [Fourier transform]
      4. フーリエ解析を使用した微分方程式の解法
        1. 熱伝導方程式 [Heat Conduction Equation]
  4. 連立常微分方程式 [simultaneous ordinary differential equations]
    1. 線形系の解の代数的性質
    2. 線形代数の微分方程式への応用
    3. 1階の線形斉次連立微分方程式の解を見つける方法
      1. 固有値 λ が複素数解のとき
      2. 固有値 λ が重解のとき
    4. 基本解行列 [fundamental matrix solution]
    5. 非斉次線形連立方程式(定数変化法)
  5. 微分方程式の定性的性質 [qualitative properties of differential equation] と力学系 [dynamical system]
    1. 自律系微分方程式 [autonomous system of differential equation] と線形システムにおける安定性
    2. 平衡解の安定性
      1. 自律系微分方程式の平衡解の安定性
    3. 相平面 [phase plane]
  6. 参考文献

  7. 追記予定項目


概要 [Overview]、全体 MAP

記載中...


常微分方程式 [O.D.E : ordinary differential equation]

1階微分方程式 [First-order differential equation]

変数分離型 [separation of variables]

image

同次形 [Homogeneous Equations]

twitter_ _1-2_170306

1階線型微分方程式 [First-order linear differential equation]

twitter_ _1-3_170306 twitter_ _1-4_170306

完全微分方程式 [exact differential equation]

twitter_ _1-5_170307 twitter_ _1-6_170307

完全形における解の存在と一意性 <ピカールの逐次近似法 [method of successive approximations] >

image

ピカールの近似列

image

(a) ピカールの近似列の算出

twitter_ _1-8_170309 twitter_ _1-9_170309

(b) ピカールの近似列の収束性

image

(c) y(t) が対象の初期値問題 (1.6) 式を満たすことの証明

image

解の存在と一意性

twitter_ _1-11_170311

逐次近似法を使用した方程式の解の導出

twitter_ _1-12_170312 twitter_ _1-13_170312

ニュートン・ラプソン法(数値解析)[Newton-Raphson method]

twitter_ _1-14_170313 twitter_ _1-15_170313

2階定係数斉次線形微分方程式 [homogeneous linear differential equation]

twitter_ _2-1_170314

(i) b2 -4ac > 0 のとき

twitter_ _2-2_170314

(ii) b2 -4ac < 0 のとき

twitter_ _2-3_170315 twitter_ _2-4_170315 twitter_ _2-5_170315

(iii) b2 - 4ac = 0 のとき

twitter_ _2-6_170316 twitter_ _2-7_170316 twitter_ _2-8_170316 twitter_ _2-9_170316

2階変係数斉次線形微分方程式 [Inhomogeneous linear differential equation]

image

定数変化法 [variation of constants]

image twitter_ _3-2_170318 twitter_ _3-3_170318 twitter_ _3-4_170318

代入法

image

① 右辺が多項式の形をしている場合

image twitter_ _3-6_170320 twitter_ _3-7_170320

② 右辺が(多項式×指数関数)の形をしている場合

twitter_ _3-8_170321 twitter_ _3-9_170321

③ 右辺が(多項式×三角関数)になっている場合

twitter_ _3-10_170322 twitter_ _3-11_170322


級数解 [Series solution]

twitter_ _4-1_170323 twitter_ _4-2_170323 twitter_ _4-3_170323 twitter_ _4-4_170323


べき級数 [series] とその性質

image

収束半径と収束、発散、及びCauchyの判定法による収束半径の決定

image

Tayler 展開

twitter_ _5-2_170324

特異点 [singularity] 、オイラーの方程式

image

特異点が t0=0 の場合で) t > 0 のとき

image twitter_ _6-2_170325 twitter_ _6-3_170325

特異点が t0=0 の場合で)t < 0 のとき

twitter_ _6-4_170325

オイラーの方程式の一般解

twitter_ _6-5_170325 twitter_ _6-6_170325 twitter_ _6-7_170325 twitter_ _6-8_170325

確定特異点 [fixed singular point]、フロベニウスの方法 [Frobenius method]

image

確定特異点 [fixed singular point]

image twitter_ _6-10_170325

プロベニウスの方法 [Frobenius method]

twitter_ _6-11_170325

1つの例の場合

twitter_ _6-12_170326 twitter_ _6-13_170326 twitter_ _6-14_170326

一般的な場合

twitter_ _6-15_170327

決定方程式

image

決定方程式における r1, r2 の差が整数になる場合の、1次独立な2つの解と一般解

image twitter_ _6-17_170327 twitter_ _6-18_170327

決定方程式が重解になる場合の、1次独立な2つ目の解

twitter_ _6-19_170328 twitter_ _6-20_170328 twitter_ _6-21_170328

関数解析 [functional analysis] と常微分方程式

ラプラス変換 [Laplace transform]

twitter_ _7-1_170329 twitter_ _7-2_170330 twitter_ _7-3_170330

ラプラス変換を使用した微分方程式の解法

twitter_ _7-4_170330 twitter_ _7-5_170330

フーリエ解析 [Fourier analysis]

フーリエ級数 [Fourier series]、フーリエ級数展開

image twitter_ _7-7_170401

複素フーリエ級数

_ _ _170914

フーリエ変換 [Fourier transform]

twitter_ _7-8_170401 twitter_ _7-9_170402 twitter_ _7-10_170402

フーリエ解析を使用した微分方程式の解法

熱伝導方程式

twitter_ _7-11_170402 twitter_ _7-12_170402


連立常微分方程式 [simultaneous ordinary differential equations]

線形系の解の代数的性質

twitter_ _8-1_170403 twitter_ _8-2_170403 twitter_ _8-3_170403

線形代数微分方程式への応用

twitter_ _9-1_170404 twitter_ _9-2_170404 twitter_ _9-3_170405

1階の線形斉次連立微分方程式の解を見つける方法

twitter_ _10-1_170406 twitter_ _10-2_170406 twitter_ _10-3_170406 twitter_ _10-4_170406

固有値 λ が複素数解の場合

twitter_ _10-5_170407 twitter_ _10-6_170407 twitter_ _10-7_170407

固有値 λ が重解の場合

twitter_ _10-8_170407 twitter_ _10-9_170408 twitter_ _10-10_170408 twitter_ _10-11_170408

基本解行列 [fundamental matrix solution]

twitter_ _10-12_170408 twitter_ _10-13_170409 twitter_ _10-14_170410 twitter_ _10-15_170410 twitter_ _10-16_170410 twitter_ _10-17_170410

非斉次線形連立方程式(定数変化法)

twitter_ _11-1_170412 twitter_ _11-2_170412 twitter_ _11-3_170412 twitter_ _11-4_170412


微分方程式の定性的性質 [qualitative properties of differential equation] と力学系 [dynamical system]

twitter_ _12-1_170417

自律系微分方程式 [autonomous system of differential equation] と線形システムにおける安定性

twitter_ _12-2_170422 twitter_ _12-3_170422 twitter_ _12-4_170423 twitter_ _12-5_170423 twitter_ _12-6_170423 twitter_ _12-7_170423 twitter_ _12-8_170424 twitter_ _12-9_170424

平衡解の安定性

twitter_ _13-1_170425 twitter_ _13-2_170425 twitter_ _13-3_170426

自律系微分方程式の平衡解の安定性

twitter_ _14-1_170426 twitter_ _14-2_170427 twitter_ _14-3_170427 twitter_ _14-4_170427

相平面 [phase plane]

twitter_ _15-1_170428 twitter_ _15-2_170428 twitter_ _15-3_170428 twitter_ _15-4_170428

参考文献

微分方程式―その数学と応用〈上〉

微分方程式―その数学と応用〈上〉

微分方程式―その数学と応用〈下〉

微分方程式―その数学と応用〈下〉

キーポイント微分方程式 (理工系数学のキーポイント 5)

キーポイント微分方程式 (理工系数学のキーポイント 5)

キーポイントフーリエ解析 (理工系数学のキーポイント (9))

キーポイントフーリエ解析 (理工系数学のキーポイント (9))