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サイエンス、テクノロジー、エンジニア関連のノート(忘備録)です。

線形代数学


線形代数学 [linear algebra]

線形代数学に関してのマイノートです。今後も随時追加予定です。
あまり厳密でないので数学科or出身者の方から見たら天下り的説明に見えるかと思いますがご了承ください。

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項目 [Contents]

  1. 概要、全体 MAP [Overview]
  2. ベクトル [vector]
    1. ベクトル空間 [vector space]
      1. ベクトル空間とベクトルの性質
        1. 張る(生成する)
        2. 線形独立(一次独立)と線形従属(一次従属)
          1. 線形独立(1次独立)[linearly independent] と線形従属(1次従属)[linearly dependent] のイメージ
      2. 基底ベクトル [basis vector]
      3. ベクトルの次元
  3. 行列 [Matrix]
    1. ガウスの消去法 [Gaussian elimination]
    2. 行列式 [determinant]
    3. 行列式の性質
    4. ガウスの消去法を利用した行列式の計算
    5. 余因子展開 [cofactor expansion]
    6. 行列式の積
    7. 置換による行列式の表現
      1. 置換の符号
      2. 置換による行列式の定義
    8. 逆行列 [inverse matrix]
      1. 逆行列の公式
      2. 逆行列の公式を用いての逆行列の算出
      3. ガウスの消去法を用いての逆行列の算出
    9. 行列のランク(階級)[rank]
      1. 行列のランクの意味
        1. 小行列式によるランクの定義
      2. 連立1次方程式と行列のランクの関係
    10. 転置行列 [transposed matrix]、対称行列 [symmetric matrix]
    11. 複素行列と複素共役、共役転置行列(随伴行列) [adjugate matrix]
  4. 線形写像 [linear mapping]
    1. 線形変換 [linear transformation]
      1. 線形変換の幾何学的イメージ
      2. アファイン変換 [affine transformation]
      3. 線形変換の逆変換
    2. 線形写像 [linear mapping]
      1. 線形写像の核 [kernel] と像 [image]
      2. 商空間 [quotient space]
      3. 線形代数学の基本定理
        (線形写像の商空間と像の関係+カーネルと像の次元の関係、準同型定理の特殊なケース)
      4. 連立1次方程式への線形代数学の基本定理の応用
  5. 固有値 [eigenvalue]、固有ベクトル [eigenvector]
    1. 固有方程式
    2. 特性方程式
  6. 行列の対角化 [diagonalization]
    1. 対角化可能な条件
    2. なぜ対角化するのか?
      1. 2次形式の標準化への応用
    3. 直行行列 [orthogonal matrix] と実対称行列 [symmetric matrix]
    4. エルミート行列 [Hermitian matrix] とユニタリー行列 [Unitary matrix] の対角化
      1. エルミート行列 [Hermitian matrix]
      2. ユニタリー行列 [Unitary matrix]
      3. エルミート行列のユニタリー行列での対角化
  7. ジョルダン標準形 [Jordan normal form]
    1. 2×2行列でのジョルダン標準形
    2. ジョルダン標準形の微分方程式への応用
  8. ベクトル解析 [vector calculus]
    1. 内積 [inner product]
    2. 外積 [cross product]
    3. 勾配 [gradient] : grad f = ∇ f
    4. 発散 [divergence] : div A = ∇・A
    5. 回転 [rotation] : rot A = ∇ × A
  9. 参考文献

  10. 追記予定項目

    • グラム・シュミットの正規直交化法 [Gram–Schmidt orthonormalization]
    • 行列の QR 分解 [QR decomposition]
    • 行列の特異値分解 [SVD : single value decomposition]
    • 3×3行列でのジョルダン標準形

概要 [Overview]

twitter_ _1-1_170525

ベクトル [vector]

ベクトル空間 [vector space]

twitter_ _2-1_170525

  • (例)
    1階の線形微分方程式
    image
    において、方程式の解(ベクトル)
    image
    のすべてからなる集合 V はベクトル空間であることを示す。

    1階の線形微分方程式の解 image に対して、公理 (1),(2),(5),(6) は自明に成り立つ。
    また、【定理1】より (7),(8) も成り立つ。
    公理 (3) は、image に対して、image
    公理 (4) は、image とすると、
    image
    つまり、image は、この微分方程式の解であり、集合 V に含まれるので成り立つ。(公理(4)を満たす)
    よって、1階の線形微分方程式の解全体の集合はベクトル空間となる!

ベクトル空間とベクトルの性質

張る(生成する)

twitter_ _2-3_170525

線形独立(一次独立)と線形従属(一次従属)

twitter_ _2-4_170525

線形独立(1次独立)[linearly independent] と線形従属(1次従属)[linearly dependent] のイメージ

twitter_ _2-5_170525

twitter_ _2-6_170525 twitter_ _2-7_170525

基底ベクトル [basis vector]

twitter_ _2-8_170525

ベクトルの次元

twitter_ _2-9_170525

行列 [Matrix]

ガウスの消去法 [Gaussian elimination]

twitter_ _4-1_170526 twitter_ _4-2_170526 twitter_ _4-3_170526

行列式 [determinant]

twitter_ _5-1_170526 twitter_ _5-2_170526 twitter_ _5-3_170526

行列式の性質

twitter_ _5-4_170526 twitter_ _5-5_170526

ガウスの消去法を利用した行列式の計算

twitter_ _5-6_170526

余因子展開 [cofactor expansion]

twitter_ _5-7_170526 twitter_ _5-8_170526

行列式の積

twitter_ _5-9_170526

置換による行列式の表現

image

置換の符号

image

置換による行列式の定義

twitter_ _5-11_170526

逆行列 [inverse matrix]

逆行列の公式

twitter_ _6-1_170526 twitter_ _6-2_170526 twitter_ _6-3_170526

逆行列の公式を用いての逆行列の算出

twitter_ _6-4_170526

ガウスの消去法を用いての逆行列の算出

twitter_ _6-5_170526

行列のランク(階級)[rank]

twitter_ _7-1_170526 twitter_ _7-2_170526

行列のランクの意味

twitter_ _7-3_170526 twitter_ _7-4_170526

行列式によるランクの定義

記載中...

連立1次方程式と行列のランクの関係

twitter_ _7-5_170526 twitter_ _7-6_170526

転置行列 [transposed matrix]、対称行列 [symmetric matrix]

image

複素行列と複素共役、共役転置行列(随伴行列) [adjugate matrix]

image

線形写像 [linear mapping]

線形変換 [linear transformation]

image twitter_ _8-2_170526 twitter_ _8-3_170526

線形変換の幾何学的イメージ

twitter_ _8-4_170526 twitter_ _8-5_170526 twitter_ _8-6_170526

アファイン変換 [affine transformation]

twitter_ _8-7_170526

線形変換の逆変換

twitter_ _8-8_170526

線形写像 [linear mapping]

twitter_ _9-1_170526

線形写像の核 [kernel] と像 [image]

twitter_ _9-2_170526 twitter_ _9-4_170526

商空間 [quotient space]

twitter_ _9-5_170526 twitter_ _9-6_170526 twitter_ _9-7_170526

線形代数学の基本定理(線形写像の商空間と像の関係+カーネルと像の次元の関係、準同型定理の特殊なケース)

twitter_ _9-8_170527 twitter_ _9-9_170527

連立1次方程式への線形代数学の基本定理の応用

twitter_ _9-10_170527 twitter_ _9-11_170527

固有値 [eigenvalue]、固有ベクトル [eigenvector]

twitter_ _10-1_170527 twitter_ _10-2_170527 twitter_ _10-3_170527 twitter_ _10-4_170528 twitter_ _10-5_170528 twitter_ _10-6_170528

行列の対角化 [diagonalization]

twitter_ _11-1_170529 twitter_ _11-2_170529 twitter_ _11-3_170529

対角化可能な条件

twitter_ _11-4_170529 twitter_ _11-5_170529 twitter_ _11-6_170529 twitter_ _11-7_170530 twitter_ _11-8_170530

なぜ対角化するのか?

twitter_ _11-9_170530

2次形式の標準化への応用

twitter_ _11-10_170530 twitter_ _11-11_170530 twitter_ _11-12_170530

直行行列 [orthogonal matrix] と実対称行列 [symmetric matrix]

twitter_ _12-1_170531 twitter_ _12-2_170531 twitter_ _12-3_170531

エルミート行列 [Hermitian matrix] とユニタリー行列 [Unitary matrix] の対角化

エルミート行列 [Hermitian matrix]

twitter_ _12-4_170531

ユニタリー行列 [Unitary matrix]

twitter_ _12-5_170531

エルミート行列のユニタリー行列での対角化

twitter_ _12-6_170531

ジョルダン標準形 [Jordan normal form]

2×2行列でのジョルダン標準形

twitter_ _13-1_170531 twitter_ _13-2_170601 twitter_ _13-3_170601

ジョルダン標準形の微分方程式への応用

twitter_ _13-10_170602 twitter_ _13-11_170602

ベクトル解析 [vector calculus]

内積 [inner product]

_ _1-1_170913

外積 [cross product]

_ _1-2_170913

勾配 [gradient] : grad f = ∇ f

_ _2-1_170913

発散 [divergence] : div A = ∇・A

_ _2-2_170913

回転 [rotation] : rot A = ∇ × A

_ _2-3_170913

参考文献

キーポイント線形代数 (理工系数学のキーポイント 2)

キーポイント線形代数 (理工系数学のキーポイント 2)

詳解演習 線形代数 (詳解演習ライブラリ)

詳解演習 線形代数 (詳解演習ライブラリ)

情報数理の基礎と応用 (ライブラリ情報学コア・テキスト)

情報数理の基礎と応用 (ライブラリ情報学コア・テキスト)